フィボナッチ数列と２つの母関数

数列a_nがあったとき、通常の母関数とは

f(x) =Σa_nxⁿ=a₀+a₁x+a₂x²+…

と表記する。この母関数を使えば、フィボナッチ数列やカタラン数を機械的に計算することができる。

フィボナッチ数列は一般的にa_n=a_n-1+a_n-2で表現され、その母関数の計算は「フィボナッチ数列の母関数」（pdf)にわかりやすく解説されている。

結論として、フィボナッチ数列の母関数は

f(x) = 1/(1-x-x²)

になるため、これをテーラー展開をすることによって、各係数がでて、数列が計算できる。

ところで、フィボナッチ数列は、一般にビネの公式というものがある。（詳細は上記資料を参照）これだとフィボナッチ数列は２つの数字の冪数として表現できる。先ほどの母関数からも複雑な計算をすればビネの公式を見いだせる。ここで、もう一つの母関数を導入すると、ビネの公式が比較的な容易な計算で求められるので紹介しよう。

指数的母関数を

 F(x)=Σb_nxⁿ/n! =b₀+b₁x/1!+b₂x²/2!+…

と表記する。b_n=1ならF(x)=e^xである。

ここで、フィボナッチ数列の性質から、各式の係数を見比べてF(x)''=F(x)+F'(x) 

これは２階微分方程式なので、一般解はAe^αx+Be^βxとなる。

よって、α,βはx²=x+1を満たす数となる。A,Bはb₀=b₁=1からもとまる。これより、b_nがビネの公式と一致することがわかる。

なお、この指数的母関数の説明は、「はじめての数論」（丸善）を参考にしています。

「立体錯視の最前線」の展示から（2019年明治大学博物館）

写真を整理していたら、2019年に明治大学博物館で展示し、大きな反響があった「立体錯視の最前線」の写真が何枚かあったので、ご紹介します。


特に面白かったのは、鏡に映るとなぜか形が変わってしまうシリーズ。実際鏡の近くに行くとトリックがわかりますが、ここではノーヒントで写真を見てください。

トリックが知りたい方は、明治大学で錯視を研究されている方の本を是非ご覧ください。

独習で合格する！PMP受験対策まとめ（PMBOK第６版）

（この記事は2020年4月に記事の内容を最新化しています）

今回はPMP受験において独習で合格したい人のために、PMP合格対策から受験までの流れとポイントについて解説します。

【1】35時間以上のPMP対応講座を受講する

PMPを受けるにはプロジェクトマネジメントのほかに35時間以上(35PDU)以上のPMP対応講座を受講する必要があります。

通信教育で35PDUを取得できるものもありますが、大都市圏に近ければ会場型の講座を申し込むと良いでしょう。

なお、PMP受験対策として、ピンポイントにテーマを絞った講座よりも、プロジェクトマネジメント全体を俯瞰する講座を取ることをお勧めします。また、会場型の場合、PDUを取得する場合は講師や事務局に申し出が必要な場合があります。PDUの取得方法を必ず確認しましょう。

【2】PMBOKの入門書＋教科書で全体の流れを確認する

PMBOKガイドは非常に大きく、内容も充実しているため、最初から読むのは大変厳しいです。

そのために、「PMBOK入門 」でPMBOKの構成を簡単に学習します。この本はPMBOKの大まかな流れだけでなく、後半では実際にありそうなプロジェクトのトラブルをPMBOKを活用して乗り越えるケースが書いてあり、PMBOKの重要性が非常によく理解できます。

そしてこの本の一番の良さは「軽くて薄い！」通勤途中にPMBOKを学ぶには最適です。

そして、PMBOKの流れがわかったら、定番のPMBOK学習本「PMPパーフェクトマスター」。

この本はPMBOKの要点が非常にわかりやすくまとめられています。
また、設問の難易度も絶妙で、PMBOKをきっちり理解しないと解けない構成になっています。

最初は本を読みながら、設問を解いてみましょう。
２〜３回目からPMPの各プロセスを理解しながら設問を解いてみましょう。
PMPはプロセスの意味を理解しないと合格できない試験構成となっています。

【3】PMBOKガイドとPMP問題集でレベルアップ

最後にPMBOKの詳細を確認するための対策をします。

PMPはPMBOKガイドの内容が試験として出題されるため、PMBOKガイドを一度読んでおくと、理解しやすいです。

この本は、全部を読むにはかなりのボリュームのため

1.問題集でよくわからない部分をピンポイントでチェックする
2.各プロセスについて最初から数段落（要旨部分）を繰り返し読んでみる
3.問題集で理解していないプロセス部分を一旦全て読んでみる

というのをお勧めします。やはりPMBOKガイドという名にふさわしく、各プロセスとも詳細に書いてあり、読めば読むほどプロセスの理解が深まります。

そして、PMP試験対策といえば、「PMP試験合格虎の巻」
PMP独特の日本語の文書として癖がある問題もこの対策本があれば大丈夫。
問題集としては、「PMP試験合格虎の巻」を中心に使うことをお勧めします。

【４】PMI会員（本部＋日本支部）に入会する

問題集が８割程度できるようになったら、PMI会員（本部＋日本支部）に入会しておきましょう。どちらも年会費は発生しますが、PMP受講料が安くなり、PMP受験申込み手続きが非常に楽になります。

【５】PMP受験を申し込む

９割以上問題が解けるようになったら、PMP受験の申請をしましょう。

なお、受験前に対策本等にある試験問題(200問）を４時間で解く練習を２、３回しておきましょう。休憩時間の取り方がわかります。

【６】プロメトリックの受験手続を行う

PMP試験はプロメトリックの会場で行います。
PMP受験がPMIから認められるまでに１週間程度、その後PMP受験に関わるメールが届きます。

そのメールに従ってプロメトリックの会場と受験日時を決定してください。

当日は身分証明書も必要です。
当日はパソコンによる受験です。計算機はブラウザに表示することができます。
荷物はロッカーに入れておきます。ペットボトルはロッカーのうえに置いておくと、休憩時間が過ごしやすいです。休憩している間でも試験時間は過ぎていくことに注意。試験結果はその場でわかります。PMPの合格書は郵送で届きますが、PMI本部のページからもダウンロード可能です。

【感想】

PMPを取得することで、プロジェクトマネジメントを俯瞰的に勉強できたことが一番よかったと思っています。

自分がやってきたプロジェックトマネジメントのノウハウもPMBOKガイドには当然書いてありますし、プロジェクトのトラブルを回避するのにこんな方法があるんだ、と非常に気づきが多かったのも収穫です。

資格としてPMPを取るというのが最初のモチベーションでしたが、プロジェクトマネジメントを体系的に学びたいからPMPを受験する、というほうに動機を切り替えたことによって、試験期間中のモチベーションを高いまま維持できたと考えています。

試験対策期間は1.5か月程度（PDU取得は除く）でしたが、通勤途中、土日は試験対策にほぼ費やしました。時間がまとまって確保できいない人は４か月〜６か月程度試験期間をみた方が良いと思います。

最後に、この記事を読んだ皆様がPMPに合格することを心より祈念致します。

[英会話]英会話学校の粋な計らい

英会話が趣味と言うレベルまでいかないし、現在の業務上英会話が必ずし必要とも限らないのだが、それでも英会話学校に行っている。

その理由は、海外旅行によく行っているのでもうちょっときちんと喋りたいと思っているのと、TOEIC対策の2点である。今はイーオンに行っているのだが、ココは基本的に担当の先生・時間が決まっているのだが、振り替えが可能だることが嬉しい。

そこで今更ながら気づいた事なのだが、英字新聞やTIMEなどの英語雑誌が無料で持ち帰れる棚がある。
（新聞とかは恐らく誰かが読んだ後のものだろうけども。）
これはとてもうれしい計らいだ。英字新聞や英語雑誌は有料だとやる気がないとき以外には買う気にならないが、無料だったらレッスンついでに持ち帰って読もうかなっと思う。これから継続的に利用しようと思う。

さて英語ライティング能力をつけるために、他のBlogで英語の日記をつけようと思う。プライベートな内容となるので、ここではそのBlogのURLを紹介することはないだろうけども、そのうち探してみて下さいね。

簡単にライティング能力を上げるには、英語でメールを交わすことが上達の早道だと思うのだけどもなぁ。しかし相手がいないのが残念。。だれか気長（1週間に1～2通ぐらい？）に英語メールを交わしませんか？

[物理]電子軌道秩序

このＢｌogを読んでいる人は、P2Pネタが多いということで、私が情報系出身だと思う人がいるが、実は大学・大学院ともに物理学専攻だった。私がやっていたのは理論物性物理学で磁性体に対する研究をしていた。

情報の世界に入ってもやっぱり物理の世界は気になるもので、新宿の紀伊国屋に行くと物理や数学のコーナーに足を運んでしまう。私のように、大学時代の専攻の本や雑誌を、未だにチェックしている人も少なくないのかもしれない。
（このごろは量子力学における位相や対称性に興味を持っていたりする。そんな時間があったら仕事に結びつく情報の資格勉強をした方がイイかもって？笑）

ところで、私の卒論、修論は遷移酸化物の軌道秩序状態であった。これは何を意味しているちょっと説明しよう。

例えば鉄は磁石になることができる。磁石になるということは、実は電子の「スピン」というもの（電子の自転だと考えてください。）が一定方向に向いている事を指しています。このようにスピンに秩序があると、いろいろと面白い現象が現われます。

ところで、どうしてスピンは秩序状態になるのだろうか？それは隣の原子に電子が移動する（これをホッピングと呼ぶ）とエネルギーが下がることや、電子間の反発力（クーロン反発力）によってエネルギーが上昇することが考えられる。一番スピン状態を簡単に表わすのが、イジングモデルやハイゼンベルグモデルと呼ぶものだ。

さて、鉄やマンガンなどに含まれるｄ電子軌道のように同じエネルギーの電子軌道が複数ある場合（これを縮退していると呼ぶ）、もっと面白い現象が起きる場合がある。それは、電子のスピンだけでなく、電子軌道も一定の秩序があることがわかったのだ。これを軌道秩序状態と呼び、理論的に解明した有名なモデルがKugel-Khomskiiモデルと呼ばれている。このモデルでは電子軌道があたかも新たな電子スピンのように振舞うので、電子軌道を「擬スピン」で表わすと呼ばれることもある。

大学4年のときにはKugel-Khomskiiモデルを古典的モンテカルロシュミレーションで相図を完成させた。相図とは、温度などのパラメーターによってどのように物質の状態が変わるかを示した物だ。例えば、1気圧で0度より上だと水で、それ以下だと氷になるというように。これは教授と研究生との共著の論文で発表した。

修士の時にはKugel-Khomsikiモデルで励起状態について研究していた。スピンだと「スピン波」と呼ばれる現象があって、スピンの向きが少しずつ傾いて全体的にエネルギーが小さくて励起することがわかっている。軌道秩序状態では、軌道が擬スピンで現われるため、擬スピンもスピン波のように、なんらかの励起状態が考えられるだろうということで計算を行った。（これを軌道波と呼ぶことがある。）最初は解析的に出来るかと思い、大きな行列の計算をいろいろしていたが、最終的には数値計算で求めた。軌道波はスピン波と違い、ほぼ孤立的な波であった。

さて、その時に時間がなくてできなかったのと、理解不足でできなかったのがKugel-Khomskiiモデルに量子効果を取り入れてシミュレーションしたらどうなるかということだった。これは量子モンテカルロ法を使えば可能だ。それ以来、量子モンテカルロ法の分かりやすい文献を探していたのだが、丁度良い本があったので早速購入した。

計算物理（３）数値磁性体物性入門

これは古典モンテカルロから量子モンテカルロまで幅広く記述して非常に素晴らしい。また磁性体物理に関するトピックもまとめてある。研究時代にこういう本があったら研究テーマが変わっていたかもしれない。。

たまにはプログラミングしたいので、ＨＰでJavaを使ったイジングモデルなどの物理シミュレーションプログラムを載せるかもしれない。後はちょっと余裕ができたら、日曜物理学者ということで、きちんとKugel-Khomskiiモデルの量子モンテカルロ計算にチャレンジしてみたいと思う。