[書評]素数に憑かれた人たち～リーマン予想への挑戦（ジョン・ダービーシャ著）

　ポアンカレ予想についての本は前回紹介したが、ポアンカレ予想が解かれた今、一番有名な未解決問題と言ったら、多くの人は「リーマン予想」と答えるだろう。そもそもなぜリーマン予想はそんなに有名なのだろうか？

リーマンはドイツの数学者で複素解析から微分幾何まで偉大な業績を残した。リーマンが研究を始めたときには、まだ天才数学者ガウスが存命で、彼はリーマンの才能の激賞していた。リーマンの名前が付いた数学用語としてはリーマン面、リーマン積分やリーマン幾何学などが代表的である。特に相対性理論を語る上ではリーマン幾何学は必要不可欠である。

そんなリーマンであるが、素数の世界にも大きな業績を残している。これがリーマン予想と大きく関わる。

こんな関数を考えてみる。引数を自然数として、その引数未満に存在する素数の数を返す。自然数をＮとして、この関数をπ（Ｎ）と書く。（πは円周率とは関係ない。）
では、このπ（Ｎ）は一体どんな関数になるのだろうか？

実はπ（Ｎ）≒Ｎ/log(N)であることが知られている。この関数の形を最初に予想したのはガウスで、証明を行ったのはアダマールである。ただし、証明にはリーマンの研究結果を活用している。

上記の式は≒と言う形をしている。これを＝の形にできないのだろうか？リーマンはπ（Ｎ）をある関数を使って書き直すことに成功した。この関数が実はゼータ関数である。

ゼータ関数とはある分数列を無限個足したものを返す関数である。きちんと書くと、
ζ(s)=1+1/2^s+1/3^s+1/4^s.....
とかく。いま、^sはs乗を表している。このζ関数は非常に興味深く、例えばζ(2）は

ζ（2)=1+1/2^2+1/3^2+1/4^2.......=π^2/6

である。（上記のπは円周率）、なんと有理数である分数を無限個足すと円周率が現れてくる！これはオイラーが見出した。

ここでようやくリーマン予想が解説できる準備が整った。リーマン予想とは、
「s=a+bi(a,bは実数, iは虚数）においてζ（s)=0であれば、原則b=1/2である。」ということである。（超意訳なことを注意！）

リーマン予想はコンピューター計算の結果等によって多くの数学者が「正しい」と信じている。しかし、まだ証明するには至ってない。また、このリーマン予想を「正しい」ことを前提に多くの研究成果が発表されている。ということはリーマン予想が「正しい」ことを証明すると、それらの研究成果が全て「正しい」という結果となる。よってリーマン予想は普通の人にはわかりにくいにも関わらず、数学者にとっては変重要な予想なのである。

この予想が大きく注目を浴びることになった一つのポイントは、大数学者ヒルベルトによる講演である。今から100年ほど前にヒルベルトは数学者が挑戦すべき未解決問題を説明し、これが多くの数学者の刺激となった。その講演の中で説明した未解決問題には、もちろんリーマン予想も含まれている。天才数学者の努力により、この講演で解説した未解決問題の多くは解かれた。しかしリーマン予想は一向に解決への扉が見えない。

ところで20世紀はコンピューターの時代でもある。20世紀初頭までは解析的な研究が多かったが、それ以降はζ（s)=0となるsの性質が計算機によって調べられていった。かのチューリングもζ（s)=0となるsを計算機で調べている。当初、計算機による研究の一つはリーマン予想の反例を調べることであった。しかし、それが反例を見出す見込みがほどんとないことがわかると、今度はζ（s)=0のsの精密な情報を得ることにシフトしていった。それが一つのドラマにつながる。

実はリーマン予想と量子物理学には関係がある「らしい」。残念ながらこれは予想であって、まだ誰も証明していない。量子物理学とはハイゼンベルグやシュレディンガーなどが研究をした原子や電子の性質を扱う物理学である。この量子物理学で扱う「ランダムエルミート行列」の固有値がなんとほとんどζ(s)=0とあるsと似たような分布をしている。そのため、数学者だけでなく有名な物理学者でさえ、このリーマン予想を研究している状態である。

さて、話をπ（Ｎ）に戻そう。π（Ｎ）をゼータ関数で表せると述べたが、実はそのときにζ(s)=0となるsを全て使った、ある関数の足し算をする必要がある。そのため、π(N)を詳しく知りたいのであれば、どうしてもζ(s)=0となるsの性質を知る必要がある。これがリーマン予想は素数の世界で大変注目されているワケである。

以上がリーマン予想の大まかなストーリである。

本書の特徴はユニークな章構成にある。偶数章がリーマン予想の「人間臭い」ストーリー、奇数章が「数学的な解説」となっている。奇数章の数学的解説は無限和や積分の知識が必要なので、大学初年度レベルの数学知識が必要である。ただし、奇数章の数学的な解説は非常に簡潔に書かれているので、是非とも理系の人にはチャレンジして欲しい。

リーマン予想を物語として読みたいのであれば、「素数の音楽」を本書よりお勧めする。「素数の音楽」は非常に綿密に人間臭いストーリーを書いているだけでなく、数学的な解説を「数式に抜き」（！）で説明することに成功している。内容も数式の詳細以外は本書とほとんど同じである。しかし、理系人間からすると、数式抜きで数学解説本を読むと、どうしても納得できないことが多数生じてしまう。

一方本書は数式で重要な部分をきちんと説明しているため、ある程度のことは数学的に理解できる。当然込み入った部分は省略となってしまうが、本書を読むだけでも素数定理の話やリーマン予想のキーワードが「数学的に」きちんと理解できるはずだ。よって理系であれば、本書を読んだ方が理解が進むはずである。

もし時間的に余裕があれば、「素数の音楽」を読んでから本書に進んで欲しい。すると、歴史的な背景がすっと入るため、数式の理解も早いだろう。

リーマン予想という超難問を、簡単な数式でエレガントに説明する作者の努力には脱帽である。このような本がもっと世に広まることを期待したい。

リーマン予想に関わる本

[書評]My Father's Dragon （邦訳：エルマーの冒険）

今年は英語力強化のために英語の本をきちんと読むことを目標にしている。そのために今まで子供用の英語本を読んでいた。今回紹介する「My Father's Dragon」はその中でも読んでいて楽しいお勧めの本だ。

邦訳は「エルマーの冒険」というタイトルで出版されている、児童文学で有名な作品なので知っている人も多いかもしれない。（といっても私は英語の本を見るまで、その存在を知らなかった。）「エルマーの冒険」シリーズは三巻から構成されていて、本巻はその第一巻である。シリーズ三巻全て読み終わって振り返ると一番面白いのは本巻であった。

ストーリーは主人公がある島（動物たちが支配する島）にいるドラゴンを助けに行くという話。主人公は島に向かうときに色々なもの（一見何に役に立つのかわからないものばかり！）をリュックサックに持っていくが、この持ち物がドラゴン救出に大いに役立つ。本の表紙を見るとライオンがきれいな髪型をしていることがわかると思うが、これはライオンからの追跡を逃れるために、主人公が機転を利かして難を逃れるというシーンを表している。他にも主人公のユニークな機転によって、動物からの追っ手を逃れるシーンがいろいろあり、それがどれも意外な展開で面白い。

もともとネイティブの小学生向けの本なので英語の文法自体はそれほど難しくない。ただ、技術英語ではなかなかお目見えしない単語もそれなりにあって、単語力強化にはもってこいだ。TOEIC500ぐらいあれば、問題なく読めるのではないだろうか？この本をお勧めする理由は飽きないが来ないストーリー展開と、なによりもイラストが多く、それがどれもきれいなので読み続ける意欲が沸くことだ。

三巻セットやオーディオＣＤもあるので、興味がある人は是非。英語にあまり自信がない人は、まずは邦訳から読んで見るのも一つの手だ。

★英語三巻セット

★邦訳「エルマーの冒険」

[書評]シンメトリーの地図帳 (マーカス・デュ・ソートイ）

最近とても素晴らしい数学啓蒙書の出版が続いているが、本書もその一つ。
シンメトリーとは「対称性」のことで、物体などに潜んでいる規則について色々なエピソードが書いてある。

この対称性は、例えば回転しても同じ図形に戻ることや鏡に映っても同じ図形も戻る、といった単純なことを連想されるが、数学的にはもっと抽象的で、「群論」と呼ばれる世界の話になる。
本書は群論の歴史と群論の応用例を簡単に紹介している。といっても、本書はとても充実しており、群論をある程度知っている人でも知らないエピソードがたくさん含まれている。数学、情報、物理、化学などを専攻して群論を相当知っている人も、わくわくする話がぞろぞろ出てくる。

そもそも、群論は方程式の特徴を見出すために生まれた分野だ。中学校のときに、2次方程式の解の公式を習ったことがあるだろう。実は3次方程式、4次方程式にも解の公式がある。ところが、色々な数学者が研究しても5次方程式の解の公式は見出せない。そこで登場したのが、天才数学者アーベルとガロアである。彼らは5次方程式の一般的な解の公式は「ない」ことを発見した。方程式の解にはそれぞれ「ある」規則性がある。その規則性をきっちり計算すると方程式が代数的に解けるかどうかが判明するというわけである。これが群論の始まりである。

群論が対象する「群」自体は本当に単純な規則しかない。群の定理はここでは書かないが、整数の足し算や掛け算という演算を抽象的にしたものだ。しかしながら、その群は数学の世界だけでなく、色々なところに応用されている。例えば物理や化学では群論はもはや必要不可欠なツールだ。それは「対称性」というカギを使って、物理的、化学的な「隠れた」特徴を晒すことができるからだ。また各種モデルを単純化することも可能だ。

ところで、群論というかシンメトリーは芸術の世界にも応用されている。例えば本書で度々引用されているのがエッシャーの絵である。この絵と対称性との関係、更には「最先端の科学者に」（！）多大な影響を与えているというエピソードは非常にぞくぞくする部分だ。音楽の世界に至ってはフーガに代表されるポリフォニー音楽が対象性を徹底的に活用している。バッハのカノン、12音音楽、そして現代音楽好きには有名な群論を作曲に応用したクセナキスの話が登場する。

後半は有限群と呼ばれる群論の最新動向の話である。具体的に言うと有限群の中でもとても位数（群に含まれる要素の数）が多いモンスターというわれる特殊な群の構造を追い詰める話である。数学者が彼らの栄誉のために、必死になって「超巨大な次元の対称性」を表現するモンスター群を発見する話は手に汗を握る話である。この手の巨大な有限群の話は群論の教科書でもなかなか目にすることもないため、私にとって斬新で興味深い話であった。。そして、世界中の数学者の叡智が結集することで、彼らは有限群のパターンを全て洗い出すことに成功したのである、いや成功したと宣言したと書いた方が正確なのかもしれない。なぜならは、その証明には膨大なページ数が必要であり、証明の内容を理解した人はほんの一握りと言われているのだから、

先ほど書いたように群論の概念自体はとても簡単な話である。しかしそれから多くの現象が記述される共に群論自体がとても豊潤な世界であることを本書は教えてくれる。数学が好きな人は特にお勧めだ。

[英会話]英会話学校の粋な計らい

英会話が趣味と言うレベルまでいかないし、現在の業務上英会話が必ずし必要とも限らないのだが、それでも英会話学校に行っている。

その理由は、海外旅行によく行っているのでもうちょっときちんと喋りたいと思っているのと、TOEIC対策の2点である。今はイーオンに行っているのだが、ココは基本的に担当の先生・時間が決まっているのだが、振り替えが可能だることが嬉しい。

そこで今更ながら気づいた事なのだが、英字新聞やTIMEなどの英語雑誌が無料で持ち帰れる棚がある。
（新聞とかは恐らく誰かが読んだ後のものだろうけども。）
これはとてもうれしい計らいだ。英字新聞や英語雑誌は有料だとやる気がないとき以外には買う気にならないが、無料だったらレッスンついでに持ち帰って読もうかなっと思う。これから継続的に利用しようと思う。

さて英語ライティング能力をつけるために、他のBlogで英語の日記をつけようと思う。プライベートな内容となるので、ここではそのBlogのURLを紹介することはないだろうけども、そのうち探してみて下さいね。

簡単にライティング能力を上げるには、英語でメールを交わすことが上達の早道だと思うのだけどもなぁ。しかし相手がいないのが残念。。だれか気長（1週間に1～2通ぐらい？）に英語メールを交わしませんか？

[物理]電子軌道秩序

このＢｌogを読んでいる人は、P2Pネタが多いということで、私が情報系出身だと思う人がいるが、実は大学・大学院ともに物理学専攻だった。私がやっていたのは理論物性物理学で磁性体に対する研究をしていた。

情報の世界に入ってもやっぱり物理の世界は気になるもので、新宿の紀伊国屋に行くと物理や数学のコーナーに足を運んでしまう。私のように、大学時代の専攻の本や雑誌を、未だにチェックしている人も少なくないのかもしれない。
（このごろは量子力学における位相や対称性に興味を持っていたりする。そんな時間があったら仕事に結びつく情報の資格勉強をした方がイイかもって？笑）

ところで、私の卒論、修論は遷移酸化物の軌道秩序状態であった。これは何を意味しているちょっと説明しよう。

例えば鉄は磁石になることができる。磁石になるということは、実は電子の「スピン」というもの（電子の自転だと考えてください。）が一定方向に向いている事を指しています。このようにスピンに秩序があると、いろいろと面白い現象が現われます。

ところで、どうしてスピンは秩序状態になるのだろうか？それは隣の原子に電子が移動する（これをホッピングと呼ぶ）とエネルギーが下がることや、電子間の反発力（クーロン反発力）によってエネルギーが上昇することが考えられる。一番スピン状態を簡単に表わすのが、イジングモデルやハイゼンベルグモデルと呼ぶものだ。

さて、鉄やマンガンなどに含まれるｄ電子軌道のように同じエネルギーの電子軌道が複数ある場合（これを縮退していると呼ぶ）、もっと面白い現象が起きる場合がある。それは、電子のスピンだけでなく、電子軌道も一定の秩序があることがわかったのだ。これを軌道秩序状態と呼び、理論的に解明した有名なモデルがKugel-Khomskiiモデルと呼ばれている。このモデルでは電子軌道があたかも新たな電子スピンのように振舞うので、電子軌道を「擬スピン」で表わすと呼ばれることもある。

大学4年のときにはKugel-Khomskiiモデルを古典的モンテカルロシュミレーションで相図を完成させた。相図とは、温度などのパラメーターによってどのように物質の状態が変わるかを示した物だ。例えば、1気圧で0度より上だと水で、それ以下だと氷になるというように。これは教授と研究生との共著の論文で発表した。

修士の時にはKugel-Khomsikiモデルで励起状態について研究していた。スピンだと「スピン波」と呼ばれる現象があって、スピンの向きが少しずつ傾いて全体的にエネルギーが小さくて励起することがわかっている。軌道秩序状態では、軌道が擬スピンで現われるため、擬スピンもスピン波のように、なんらかの励起状態が考えられるだろうということで計算を行った。（これを軌道波と呼ぶことがある。）最初は解析的に出来るかと思い、大きな行列の計算をいろいろしていたが、最終的には数値計算で求めた。軌道波はスピン波と違い、ほぼ孤立的な波であった。

さて、その時に時間がなくてできなかったのと、理解不足でできなかったのがKugel-Khomskiiモデルに量子効果を取り入れてシミュレーションしたらどうなるかということだった。これは量子モンテカルロ法を使えば可能だ。それ以来、量子モンテカルロ法の分かりやすい文献を探していたのだが、丁度良い本があったので早速購入した。

計算物理（３）数値磁性体物性入門

これは古典モンテカルロから量子モンテカルロまで幅広く記述して非常に素晴らしい。また磁性体物理に関するトピックもまとめてある。研究時代にこういう本があったら研究テーマが変わっていたかもしれない。。

たまにはプログラミングしたいので、ＨＰでJavaを使ったイジングモデルなどの物理シミュレーションプログラムを載せるかもしれない。後はちょっと余裕ができたら、日曜物理学者ということで、きちんとKugel-Khomskiiモデルの量子モンテカルロ計算にチャレンジしてみたいと思う。